Corso di
ANALISI MATEMATICA II

Scheda

Docente

Programma

Serie numeriche.

Topologia in spazi a più dimensioni.

Funzioni di più variabili (limiti, continuità, derivabilità, differenziabilità, massimi e minimi liberi e vincolati, teorema delle funzioni implicite).

Integrali multidimensionali.

Definizione di curva; curve regolari, semplici, chiuse. Defizione di curve equivalenti. Lunghezza di una curva; integrali curvilinei di prima specie (o rispetto alla lunghezza d'arco) e applicazioni (calcolo di masse, baricentri, cariche elettriche).

Campi vettoriali. Forme differenziali. Integrazione di forme differenziali. Forme esatte, chiuse. Insiemi connessi e semplicemente connessi nel piano e nello spazio. Definizione di potenziale.

Superfici. Definizione di superficie. Area di una superficie. Integrali di superficie. Lemma di Gauss-Green, Teorema di Gauss. Teorema di Stokes.

Funzioni complesse, definizione di funzione analitica.

Integrazione di funzioni complesse, integrali curvilinei nel piano complesso, integrale di una funzione olomorfa, formula integrale di Cauchy, definizione di primitiva di funzioni complesse.

Serie di Taylor di funzioni olomorfe. Definizione di raggio di convergenza e sue proprietà. Legame della serie di Taylor con la formula integrale di Cauchy. Serie di Taylor di funzioni elementari (sin(z), cos(z), 1/(1+z), 1/(1-z), exp(z), ln (1+z)). Serie di Taylor della composizione delle funzioni elementari con funzioni semplici (ad esempio serie di exp(z^2)).

Serie di Laurent e applicazioni a funzioni elementari. Sviluppo in serie di Laurent della funzione f(z) = 1/(z+3)(z-i) centrato in un qualsiasi punto.

Il punto all'infinito. Serie di Laurent di funzioni centrato nel punto all'infinito.

Teorema dei residui. Applicazioni agli integrali di variabili complesse.

Integrali reali risolvibili con il metodo dei residui.

Definizione di trasformata di Laplace e di antitrasformata.

Applicazione della trasformata di Laplace alle equazioni differenziali ordinarie.

Serie di Fourier: definizione di serie di Fourier, definizione di convergenza puntuale, assoluta, uniforme, in media quadratica. Teorema di convergenza puntuale per funzioni, periodiche, continue a tratti, che in ogni punto soddisfano una delle condizioni di Dini. Teorema di convergenza puntuale per funzioni illimitate ma aventi integrale improprio convergente. Teorema di convergenza uniforme.

Lezioni 2023-24

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